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【原创】继续教育之一:小学数学“平移与旋转”教学研究  

2013-10-24 18:24:22|  分类: 教育 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学“平移与旋转”的教学研究

吴正宪(北京教科院,数学特级教师)

王彦伟(北京市东城区教师研修中心,中学高级教师)

韩玉娟(北京第一师范学校附属小学,中学高级教师)

各位老师大家好!今天我们讨论的话题是:小学数学“平移与旋转”的教学研究与案例评析。这一讲我们主要围绕着以下三个话题和大家一起分享:

话题一:什么是“平移”、“旋转”?

话题二:2011版课标中关于“平移旋转”这部分内容与2001版实验稿课标相比有什么变化?有什么新的要求?

话题三:“图形运动”常用的教学策略有哪些?

下面我们先走进第一个话题。

话题一:什么是平移、旋转?

“平移”、“旋转”是图形与几何领域中“图形运动”中的重要内容,是图形运动的重要方式。对于小学生而言通过操作活动直观感受到,平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离;旋转就是绕一个点转动一定的角度,就够了。但是作为老师,这样还是不行的。

要了解平移旋转的科学概念,不妨先了解一下图形的运动。

图形的运动,在义务教育数学课程中最基本的形式有两种:一是形状和大小不变,仅仅位置发生变化(合同运动);二是形状不变而大小变化(相似运动)。在第一二学段,主要是合同运动,包括平移、旋转和轴对称。

我们先来看看合同运动:如果图形经过变换后与原来的图形是重合的,也就是图形的形状、大小不发生变化,那么这个图形的变换就叫做全等变换(也成为合同变换),它本质上是两点之间的距离不发生变化,换句话说在原来的图形中,任意两点的距离假设是l的话,经过变换后的两点之间的距离仍是l,所以全等变换是一个保距变换,保距离的一种变换,距离保持了以后,自然图形的形状、大小,都可以证明仍然是保持的。

全等变换有几种方式,其实可以直观地想一想,两个图形是完全一样的,要由这个图形运动得到那个图形,可以通过怎样的运动。首先可以是平移,平移到一定位置上就可以了,或者说对于三角形有一个顶点能够重合了,这时候无非有两种情况:一种情况是两个三角形的三个顶点的顺序是一致的,这时需要经过旋转两个图形就重合了;还有一种情况是顶点的顺序相反,这时需要经过反射(翻折)两个图形就重合了。上面的变换就是我们所说的平移、旋转变换和反射变换,它们是三种基本的全等变换。反射变换有的老师把它叫做轴对称变换,实际上一个图形经过反射变换后得到另一个图形,这两个图形是成轴对称的。

下面介绍一个课标中的案例,体会一下这三种全等变换:

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具体的什么叫平移,什么叫旋转,什么叫反射,我们不给出数学上严格的定义,而是直观地给予解释,并指出这些变换的基本要素。

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如上图,如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同,长度也相等,这样的全等变换称为平移变换,简称平移。也就是说,平移的基本特征是,图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。显然,确定平移变换需要两个要素:一是方向,二是距离。

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话题二:2011版课标中关于“平移旋转”这部分内容与2001版实验稿课标相比有哪些变化?有什么新的要求?

在2001版的实验稿课标中增加了“平移旋转”等关于图形与变换的内容,在2011版课标中,仍然保留了这部分内容,并且将这部分的主题名称改为“图形的运动”,老师们一定会有这样的疑问:题目为什么会发生变化?这部分内容的学习到底有什么价值?与实验稿的课标相比有哪些变化?有什么新要求?

1.为什么由“图形与变换”改为“图形的运动”?

名称的变化一是为了突出小学阶段的特点,“运动”更加直观易懂;二是更加突出了从运动的角度刻画图形。运动是世间万物的基本特征,是物质存在的基本形式。

2.学习这部分内容的价值是什么?

回答这个问题,我们不妨从学生和数学教育发展的历史视角切入讨论。

(1)从学生角度来看

现实生活中存在着大量的图形的变换的现象,学生有丰富的生活经验,例如,电梯、地铁列车在平行移动;钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动;许多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。我们希望提供给学生一种数学的眼光,去认识和把握这些现象。数学家A.D.莫肯说过:“数学的运动能量不是推理,而是联想与变换。”通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质,有助于学生发展几何直观能力和空间观念,有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法。

(2)从数学发展的角度来看

1872年,德国大数学家克莱茵发表“爱尔兰根纲领”的演说,这个里程碑式的论断,改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法。与静态地研究图形与几何的性质不同,图形的变换是从运动变化的角度去探索和认识图形与几何的性质,欣赏与设计图案,是发展学生空间观念和思维能力的重要内容。

3.与实验稿的课标相比有哪些变化?有什么新要求?

“图形的运动”是“图形与几何”领域中的一部分,承载着培养学生“空间观念、几何直观、推理能力”等重要任务。在前面的研讨中,大家可能已经对“空间观念、几何直观、推理能力”这几个核心概念有了了解,我们不妨回顾一下:

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题,借助几何直观可以把复杂的数学问题,变得简明形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果,探索思路预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

平移与旋转是图形运动的重要方式,也同样肩负着培养学生空间观念、几何直观以及推理能力的重要作用。

下面我们来看看2011版课标与2001版课标实验稿相比,这部分内容具体目标有哪些变化?

按照《标准》的要求,小学1-6年级图形的运动主要涉及平移、旋转、对称及简单的图形相似这样一些内容。

修改前

修改后

第一学段

1.结合实例,感受平移、旋转、对称现象。

2.能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。

3.通过观察、操作,初步认识轴对称图形。并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。

1.结合实例,感受平移、旋转、轴对称现象。

2.能辨认简单图形平移后的图形。

3.通过观察、操作,初步认识轴对称图形。

第二学段

1.用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴,能在方格纸上画出一个简单的轴对称图形。

2.能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小,体会图形的相似。

3.通过观察实例,认识图形的平移与旋转,能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。

4.欣赏生活中的图案,灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。

1.通过观察、操作等活动,进一步认识轴对称图形及其对称轴,能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴;能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。

2.通过观察、操作等,在方格纸上认识图形的平移与旋转,能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移,会在方格纸上将简单图形旋转90°。

3.能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。

4.能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案,并运用它们在方格纸上设计简单的图案。

从上表中不难看出,《标准》在第一学段适当降低了要求,去掉了在方格纸上作图的要求,而将其放入了第二学段。这样就使得两个学段的层次更为明确:第一学段,结合实例,通过观察、操作,直观认识平移、旋转和轴对称。第二学段,通过在方格纸上作图等活动,定量刻画运动,体会平移、旋转、轴对称的特征;体会图形的相似。

总体上看:修改后的课标在这部分降低了难度,更加强调观察与操作,积累学生数学活动经验。过程中大量的操作性活动,有利于学生积累数学活动经验,教学中应当予以充分的重视。

《标准》更加明确了两个学段的层次,教学中要把握好各自的侧重点和联系。

第一学段,侧重于对这三种运动的直观认识。学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受,了解平移、旋转和轴对称;并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。需要给学生提供大量的丰富的图形运动现象,在分类、比较等活动中直观认识三种运动,并通过丰富的活动感受三种运动下图形的形状和大小没有发生变化,以及三种运动的不同。引导学生充分地观察、想象,运用日常生活中已经积累的有关经验,归纳、发现各种运动的特点,是达成这个课程目标的有效途径。

在第一学段课标中给出了这样的案例:

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实际教学中,教师还可以增加一个问题:“那些图形可以通过旋转互相重合”,同时给出更多的常见图形,使学生通过观察体会平移和旋转的特点。

其实,学生很早就有了物体或图形运动的经验,他们通过折纸、转风车、照镜子等获得诸如平移、旋转、反射等的体验。生活中的许多现象,如旗帜升起、螺旋桨转动等,以及建筑、植物(如枫叶)、动物(如蝴蝶)等物体为学生认识平移、旋转、反射提供了丰富的素材。教师应注意收集并利用这些素材,鼓励学生对这些素材加以分析(分类、比较),从而直观认识图形的运动现象。然后教师还可以鼓励学生通过操作活动,整体感知图形的运动。

第二学段,对于这三种运动,借助在方格纸上画图去定量刻画图形的运动,并通过丰富的活动体会三种运动的特征。

看下面的例子:方格图中的图1向右平移()个格得到图2。

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学生在解决这一问题时,已经开始探索如何定量刻画平移。学生在处理这个问题时还是存在一些困难的,比如学生在找平移格数时,常常会不去找平移前后两个对应点之间的格数,而是房子中间空白那一段的格数,得到平移2格的错误答案。此时,教师们会运用这样的策略:鼓励学生观察局部的点(如房子顶)的变化情况,通过一格一格的数来寻找正确的格数。这已经开始从整体感知运动到细致刻画变换了,当然这个过程是通过操作实现的。

教学中需要注意的是,第一,操作应该与适当的想象相结合。开始可以先操作然后再去回想变换的过程,积累一定经验后可以先去想象,然后再去操作,然后再回想。第二,教师还应明确教学要求,特别是作图的要求。首先小学阶段的作图是在方格纸上。另外,对于平移的作图,只要求做基本图形沿水平方向、竖直方向的平移;对于旋转来说,要求做基本图形旋转90度后的图形。《标准》不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度。方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征,能更好地使学生认识和描述空间图形的变换过程,可以有效地促进学生对空间概念的建立。第三,还有注意规范学生的语言表达,培养学生的语言表达能力。

图形的运动对小学生的认识来说,是比较抽象的,有一定难度。如果把抽象的空间意识转化为具体的、容易操作的教与学的过程,方格纸起到很好的作用。在第一、二学段,方格纸是学生认识图形运动很好的平台,利用它可以准确地描述图形位置、定量刻画图形的运动,这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动的认识和理解。这也就回答了老师们的问题在“图形与几何”学习中方格纸的作用。

为了增加学习的趣味性,有的教师将一些常见游戏引入课堂,既激发了学生学习的热情,又使学生理解和掌握了知识,体会了数学知识的价值。例如一位教师在教学“平移旋转之后”,做了一个小游戏:俄罗斯方框。他首先将屏幕停止,然后请同学们想象并叙述方框的运动方式,如向右平移三格再向下平移5格,然后展示并验证同学们的想象过程。在学生叙述的过程中,紧抓平移或旋转要素,不断规范学生的语言,收到非常好的学习效果。学生的积极性很高。老师们也不妨试一试。

第二学段课标中介绍了这样的案例:

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例35图画还原。

打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面,请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤。

[说明]在这个案例中,学生通过实际操作进一步理解平移和旋转,不仅能增加问题的趣味性,还可以让孩子们感悟几何运动也是可以记录的,体验选取最佳方案的过程。

教学设计时,可关注如下要点:

(1)完成还原积木的任务一定要从简单到复杂,如图,先打乱四块积木中的下面两块,让学生尝试思考的过程。学生有了一定经验后,可以打乱三块或四块积木,让学生继续尝试。

(2)可以分小组进行。为了记录准确,事先要确定每一个步骤的代表符号。

(3)小组活动时,可以先讨论,确定一个大概的还原路线,然后操作验证。

(4)小组成员共同操作,进行比较,验证确定的路线。

其实现在的手机中也有很多这样的小游戏,可以引入到课堂试一试。

话题三:“形的运动容常用的教学策略有些?

1.结合生活实例,在观察与比较中认识图形的运动。

新课标要求课程内容要反映社会的需要,数学学科的特征,也要符合学生的认知规律。课程内容的选择要贴近学生实际,有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给与支撑,对感知图形运动这样抽象概念来说尤其重要。小学阶段关于图形的运动定位在积累感性体验,形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略。

在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转的形式,通过对称、平移、旋转变换同样可以设计制作美丽的图案。因此,在教学中,多收集一些这样的素材,通过学生的观察、比较,引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换。

例如,教学“图形的变换”时丰富教材中的典型素材,注意融入了像道闸,车轮,钟摆等素材并利用信息技术动态呈现,让学生进一步感知旋转现象。

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这样做,一方面有利于激发学生学习图形运动的兴趣,另一方面使学生进一步体会到数学与生活的密切联系,发展学生的概括能力。

2.借助操作活动,加深对图形运动的认识,帮助学生体会运动的特征。

加强学生操作活动,也是提高图形变换教学成效的一个策略。操作是一种重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画一个图形经某变换后的图形和剪对称图形。应鼓励学生动手操作,并在操作过程中积极思考,发展思维能力。

特别在这部分内容,学生还有一些困难,比如学生在方格纸上进行平移的时候,在找平移距离的时候,不是找平移前后两个对应点之间的距离,而是中间空白那一段的距离。要克服这个困难呢,最重要的还是要操作。有的老师还反映,学生在旋转过程中,对确定旋转角度感觉很困难,我觉得也是要鼓励学生去操作。比如,有的老师在教学中就这样处理,甭管是什么图形,都套在一个正方形或一个圆上,运动时等于在变换正方形和圆。

再如,在教学“线的旋转”环节让学生通过用铅笔表示线段在桌面方格中以三种不同的旋转中心(铅笔尖、铅笔尾与铅笔中点)进行旋转。来感悟旋转中心可以是线段上的任意一点。为后面在方格纸上画线段提供实物支撑。

当然,操作还应该与适当的想象相结合。低年级可以先操作然后再去回想变换的过程,到了高年级可以先去想象,然后再去操作,然后再回想。

3.注重从运动的角度,引导学生欣赏图形、设计图案。

学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界,因此,教学中应鼓励学生从变换的角度欣赏图形,设计图案。例如,在生活中随处可见的美丽图案,学生在观察这些图案时,可以发现其中包含的熟悉的图形;可以运用数学的眼光分析图案的组成,例如是否运用了变换;可以欣赏这些各具特色的图案,发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美;可以以此为启发,发挥自己的个性和创造力,亲自动手设计图案。

《标准》还要求:能画出简单平面图形(点,线段,直线,三角形等)关于给定对称轴的对称图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形,认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用;以及运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。

这些画图和设计图案的活动,既可以加深学生对图形平移、旋转和轴对称的理解,又能激发他们的学习兴趣,感悟数学的美及其应用价值,应当认真落实《标准》的这些要求。

如师大版教材《图形变换》这一内容,三角形ABCD经过怎样的运动得到风车图案的?风车图案又是经过怎样的运动得到长方形的?……

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课堂上可以先让学生进行想象,然后让学生动手操作操作,最后再借助信息技术展示图形的运动,引导学生从能从不同角度观察图形,识别基本图形发生了怎样的变换之后,形成了同一个图形,激发学生的创造性思维,为后面学习灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作图案做了孕伏。

4.在解决问题中注重“图形的运动”和相关知识的联系,发展空间想象力和解决问题的能力。

对于图形的认识,不仅仅是从静态的角度去认识它,还可以从动态的角度去丰富对它的认识,这是跟过去相比比较加强的。

比如对角的认识,曾经有一个老师举过学生的一个常见错误:低年级学生老有一种混淆,认为角的大小与画出的角的两条边的长短有关。其实,这对于低年级学生也是正常的,如果从静态上去观察一个角,孩子比较容易关注它的明显因素——两条边,而相对不是那么明显的“角的张口的大小”,学生不容易观察到。如果这时候呢,教师鼓励学生动态地去认识角,比如利用活动角不断张开,学生会慢慢关注角的张口,事实上,利用图形的运动(变换)来认识图形,是一个将静态认识与动态认识相结合的途径。

(1)从运动变换角度认识图形。

在认识图形的教学过程中,可以借助变换,动态直观的刻画图形的属性。例如:长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆、长方体、正方体、圆锥等图形,在认识他们的特征时可以通过平移、旋转、对称的变换,清晰直观的发现图形隐含着的特点。

(2)从运动变换的角度理解度量。

小学阶段,在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中,时刻都能感受到变换的重要作用。三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式的推导过程中,会用到拼凑、割补等多种推导的方法,这些方法的实质是图形的变换。

总之,小学阶段有关图形的运动的目标的达成是一个循序渐进的过程,教师在课堂教学中应该注重多种策略的运用,以这个内容为载体,帮助学生建立空间观念,注重培养学生的几何直观。

各位老师,今天我们的讨论就到这里,谢谢大家!

如上图,旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等,并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然,确定旋转变换需要两个要素:旋转中心、旋转角(有方向)。

如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分,这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说,反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然,确定反射变换的关键在于找到对称轴。

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